\subsection{三角形全等的判定 I}\label{subsec:czjh1-3-5}

根据定义来判定两个三角形全等，需要知道三条边对应相等和三个角对应相等。
现在我们来研究是否可以减少一些条件，找到比较简单的判定方法。
为此，我们先举例说明如何画出满足一定条件的三角形。

用刻度尺和量角器，画一个三角形，使它的两条边长分别是 2.8 cm 和 3.1 cm，
这两条边的夹角等于 $45^\circ$。

\huafa 1. 画 $\angle DAE = 45^\circ$ （图 \ref{fig:czjh1-3-16}）。

2. 在 $AD$、$AE$ 上分别截取 $AB = 3.1\;\limi$， $AC = 2.8\;\limi$。

3. 连结 $BC$。

$\triangle ABC$ 就是所求的三角形。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-16}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-16}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{9cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-17}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-17}
    \end{minipage}
\end{figure}

如果按照上面的条件，用同样的方法另画一个 $\triangle A'B'C'$，
再把 $\triangle A'B'C'$ 剪下来放到 $\triangle ABC$ 上，我们可以看到，
$\triangle A'B'C'$ 与 $\triangle ABC$ 能够完全重合。
这个事实说明，只要是按上述条件画出的三角形，它们总是全等的。我们把这个事实作为公理：

\begin{gongli}[边角边公理]
    有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
\end{gongli}（可以简写成 “\zhongdian{边角边}” 或 “$\bm{SAS}$”）。

例如，在图 \ref{fig:czjh1-3-17} 的 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中，
如果 $AB = A'B'$， $\angle A = \angle A'$， $AC = A'C'$， 那么
$$ \triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C' \juhao $$

根据边角边公理可以判定两个三角形全等。


\liti 已知： $AD \pingxing BC$， $AD = CB$ （ 图 \ref{fig:czjh1-3-18}）。

求证： $\triangle ADC \quandeng CBA$。

\zhengming $\because$ \quad $AD \pingxing BC$ （已知），

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$ （两直线平行，内错角相等）。

在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle CBA$ 中，

\hspace{2em}$\begin{cases}
    AD = CB \quad \text{（已知），} \\
    \angle 1 = \angle 2  \quad \text{（已证），} \\
    AC = CA  \quad \text{（公共边），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad $\triangle ADC \quandeng \triangle CBA$ （$SAS$）。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-18}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-18}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-19}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-19}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti 已知：如图 \ref{fig:czjh1-3-19}， $AB = AC$， $AD = AE$， $\angle 1 = \angle 2$。

求证： $\triangle ABD \quandeng \triangle ACE$。

\zhengming $\because$ \quad $\angle 1 = \angle 2$ （已知），

$\therefore$ \quad $\angle 1 + \angle EAB = \angle 2 + \angle EAB$ （等式的性质），

即  $\angle DAB = \angle EAC$。

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACE$ 中，

\hspace{2em}$\begin{cases}
    AB = AC \quad \text{（已知），} \\
    \angle DAB = \angle EAC \quad \text{（已证），} \\
    AD = AE \quad \text{（已知），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad $\triangle ABD \quandeng \triangle ACE$ （$SAS$）。


\begin{lianxi}

\xiaoti{已知：如图， $AB$ 和 $CD$ 相交于点 $E$， $EA = EC$， $ED = EB$。\\
    求证： $\triangle AED \quandeng \triangle CEB$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec5-lx1-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec5-lx1-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{已知：如图，$AB = AC$， $F$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点。\\
    求证： $\triangle ABE \quandeng \triangle ACF$。
}

\end{lianxi}




\liti 如图 \ref{fig:czjh1-3-20}， 有一池塘。要测池塘两端 $A$、$B$ 的距离，
可先在平地上取一个可以直接到达 $A$ 和 $B$ 的点 $C$，
连结 $AC$ 并延长到 $D$，使 $CD = CA$。
连结 $BC$ 并延长到 $E$，使 $CE = CB$。
连结 $DE$，那么量出 $DE$ 的长，就是 $A$、$B$ 的距离。为什么？
按图写出 “已知” 、“求证”，并证明。

已知：$AD$ 与 $BE$ 交于点 $C$，  $CA = CD$， $CB = CE$。

求证：$AB = DE$。

\zhengming 在 $\triangle ACB$ 和 $\triangle DCE$ 中，

\hspace{2em}$\begin{cases}
    CA = CD \quad \text{（已知），} \\
    \angle 1 = \angle 2 \quad \text{（对顶角相等），} \\
    CB = CE \quad \text{（已知），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad $\triangle ACB \quandeng \triangle DCE$  （$SAS$）。

$\therefore$ \quad $AB = DE$ （全等三角形的对应边相等）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/czjh1-ch3-20.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-20}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec5-lx2-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


因为全等三角形的对应边、对应角相等，所以，
证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，
可以通过证明这两个三角形全等来解决。


\begin{lianxi}

\xiaoti{已知：如图，点 $A$、$B$、$C$、$D$ 在同一条直线上， $AC = DB$， $AE = DF$，
    $EA \perp AD$， $FD \perp AD$，垂足分别是 $A$、$D$。\\
    求证： $\triangle EAB \quandeng \triangle FDC$。
}


\xiaoti{已知：如图，点 $E$、$F$ 在 $BC$ 上， $BE = CF$， $AB = DC$， $\angle B = \angle C$。\\
    求证： $AF = DE$。
}

\begin{figure}[htbp]
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    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec5-lx2-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec5-lx2-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{已知：如图，点 $A$、$E$、$F$、$C$ 在同一条直线上， $AD = CB$， $\angle 1 = \angle 2$， $AE = CF$。\\
    求证： $EB \pingxing DF$。
}

\end{lianxi}
